简谐运动是机械振动中最简单最基本的一种运动形式。本课中主要分析简单的弹簧振子和单摆的基本的运动规律。

　　物体做简谐运动的条件(或特征)，是它在运动中受的回复力与位移(对平衡位置而言)正比反向，即
F=-kx
或者它在运动中的加速度为

　　如果物体在运动中满足上面二式中的一个，就可判断这一物体在做简谐运动。同时，求出k值，根据简谐运动的周期公式T=就可求出振动的周期。

　　分析解决此类问题的一般步骤是：
　　1．确定（研究对象）振动物体和平衡位置，对振动物体进行受力分析；
　　2．求出振动物体离开平衡位置在某任意处受的回复力F，得出F=-kx
　　

　　例1：一个劲度系数为k竖直放置的轻弹簧下端悬挂一个质量为m的小球。用力将小球从静止位置拉下距离x，然后放手。(1)小球是否做简谐运动？(2)求小球的振动周期。空气阻力忽略不计。
　A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
　B．振子通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
　C．振子每次通过平衡位置时，加速度相同，速度也一定相同
　D．振子每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同

　　分析：当弹簧振子水平放置时，重力与振动方向垂直，回复力仅为弹力，分析时可以不考虑重力。现在，弹簧振子竖直放置，重力就在振动方向上，所以回复力是重力和弹力的合力。

　　解答：(1)设没挂小球时，弹簧的原长为l，下端在O点处，如图1所示。悬挂小球后，弹簧伸长△l，下端静止在O'点处。选向下为坐标轴的正方向，小球静止时受到的合力为零，此处就是平衡位置。有
mg-k△l=0，或mg=k△l

　　在振动过程中，小球在平衡位置以下x时，弹簧的伸长为△l+x，小球的位移为x.这时小球受到的合力
　　F=mg-k(△l+x)=mg-k△l-kx=-kx

　　对于平衡位置O'点，小球受到的合力与位移成正比且方向相反。同理，小球在O'点以上，受到的合力同样与位移正比反向，符合简谐运动的条件。所以小球是做简谐运动.

　　(2)此振动的回复力系数仍为k，所以 T=

　　由此看出，对于竖直放置的弹簧振子，是以O'为平衡位置做简谐运动。此时O'点为回复力的零值点，若把回复力当作弹簧的弹力看待，即把O'点当作弹力和弹性势能的零值点，就可不再考虑重力的作用，而直接用F=-kx来求振子离开O'点位移为x时受到的回复力.

　　例2：一边长为a的正方体静止浮于密度为ρ的液体的液面上，浸在液面下的部分恰为正方体的一半.现将正方形竖直向下按一段距离x(x＜a/2)，然后释放，试判断正方体的运动是否为简谐运动，并求出振动周期。设水的阻力不计。

　　解答：设正方体的密度为ρ1，当它静止浮于液面时，受到重力ρ1g和浮力ρg/2 据共点力的平衡条件，正方体所受合外力为零，
　　
将正方体从静止时的平衡位置竖直按下x且释放后，它受到的浮力

　　式中ρg为恒值，说明正方体受的回复力与位移正比反向，满足简谐运动的条件，因此正方体的振动是简谐运动.
由（3）式知k=ρg
　　

　　例3：试证明在光滑斜面上自由下滑的小车上的单摆（如图2），摆角不大于5°时为简谐运动且振动周期T=

　　证明：此单摆的平衡位置在过悬点与斜面垂直的方向上，摆球在平衡位置时受力如图3所示。显然重力的法向分为G=mgcosθ
设摆球离开平衡位置的位移为x，则

故此单摆为简谐运动。 且k=mgcosθ/l

　　另外，高空中的单摆；匀加速运动的升降机中的单摆；匀强电场中带电小球的单摆等，都与此题类似.若只求振动周期，可根据单摆的周期公式T=，求出不同情况下的视重力加速度的值代入公式即可.